复变函数的导数

Derivative of Complex Function

lim_{Δ z \to 0} \frac{Δ ω}{Δ z} = lim_{Δ z \to 0} \frac{f (z_{0} + Δ z) - f (z_{0})}{Δ z}

定义中： $z_{0} + Δ z \to z_{0}$ 以任意方式趋于 $z_{0}$ ， $Δ z = Δ x + i Δ y$
如果极限存在，则称 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处可导，且导数值为极限值

与实变函数中的求导法则类似

\begin{aligned} [f (z) \pm g (z)]^{'} & = f^{'} (z) \pm g^{'} (z) \\ [f (z) g (z)]^{'} & = f (z) g^{'} (z) + f^{'} (z) g (z) \\ {[\frac{f (z)}{g (z)}]}^{'} & = \frac{f^{'} (z) g (z) - f (z) g^{'} (z)}{[g (z)]^{2}} \\ (z^{n})^{'} & = n z^{n - 1} \\ [k f (z)]^{'} & = k f^{'} (z) \end{aligned}

复合函数的求导

\begin{aligned} ω & = h (z) = g (f (z)) \\ h^{'} (z) & = [g (f (z))]^{'} = g^{'} (f (z)) f^{'} (z) \end{aligned}

反函数的求导

\begin{aligned} z & = f^{- 1} (ω) = φ (ω) \\ φ^{'} (ω) & = \frac{1}{f^{'} (z)} = \frac{1}{f^{'} (φ (ω))} \end{aligned}

伸缩率
旋转角